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Jahr der Mathematik

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RTFB: Das Ziegenproblem

Das Ziegenproblem gehört zu meinen Lieblingsproblemen in der Mathematik. Das Denken in Wahrscheinlichkeiten liegt dem Menschen einfach nicht. Wie sonst kommt es, dass jeden Morgen die gleichen Straßen verstopft sind.

Eines der ersten Bücher über Wahrscheinlichkeitsrechnung in meinen Fingern war das kurze und kurzweilige Taschenbuch “Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten” von Gero von Randow) Darin geht es primär um das Ziegenproblem mit diversen Varianten – sei es dem Eingreifen von Außerirdischen, plötzlichem Gedächtnisverlust des Moderators oder durch ihren Geruch erkennbaren Ziegen.

Besonders beeindruckt die Breite, in der von Randow das Ziegenproblem betrachtet. Es erläutert ausführlich, wie es das Problem in die Presse geschafft hat. Darauf aufbauend beleuchtet er nicht nur die Frage, wieso das Ziegenproblem nun mal diese auf den ersten Blick uneinsichtige Lösung hat. Der fragt sich auch, warum so viele (hoch gebildete) Mathematiker diese Lösung nicht fanden, sich später nicht von der mathematisch schlüssigen Lösung nicht überzeugen ließen, und weshalb sie über die Lösung so wütend waren.

Seine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und insbesondere zu den bedingten Wahrscheinlichkeiten liest sich ausgezeichnet. Wer nicht unbedingt den mathematischen Tiefgang eines Lehrbuches benötigt, und einfach nur sich mal mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigen möchte, wird hier fündig.

Außerdem kann man dann besser verrückte Wetten vorschlagen. Wer weiß schon, dass bei 40 Personen in einem Raum die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bei etwa 90% liegt…

Insgesamt ein kurzweiliger und doch lehrreicher Ausflug in die Stochastik. Ein klares RTFB.


Das Ziegenproblem

Jahr der Mathematik, nächster Versuch. Heute Ziegen.

Genauer gesagt zwei Ziegen und ein Auto. In den 1990er Jahren waren Gameshows mit drei Toren angesagt. Harry Wynford versuchte es mit “Der Preis ist heiß”, Zonks und anderes Getier krabbelten durch die Fernsehlandschaften.

Man stelle sich eine solche Situation bildlich vor. In einer Gameshow steht der Kandidat von drei Toren, hinter einer Tür ist der Hauptpreis (ein schnelles Fluchtfahrzeug, um ganz der Show entfliehen zu können), hinter den andern beiden Türen sind Ziegen, die Nieten symbolisieren sollen. Der Kandidat hat keine Ahnung, was sich wo verbirgt, der neben ihm stehende Moderator allerdings schon.

Also wählt der Kandidat blind eines der Tore aus. Der Moderator öffnet daraufhin eines der beiden nicht ausgewählten Tore, darin ist eine Ziege (Es ist klar, dass der Moderator die Spannung erhalten möchte und daher unter keinen Umständen die Tür mit dem Auto öffnet. Er wird eine Ziegentüre öffnen).

Das Spiel hat sich verändert. Nur noch ein Gewinn und eine Niete sind im Spiel. Und dann die Frage des Moderators: “Möchten Sie wechseln?”

Auf den ersten Blick ein triviales Problem – die Chance auf das Auto steigt, wenn man in diese neue Situation ohne Vorwissen gehen würde, auf 50%. Doch Moment mal, man hat Vorwissen. Man weiss, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 das Auto gewählt hat, also müsste man es doch mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 nicht gewählt haben.

Marilyn vos Savant hat über dieses Problem einen langen akademischen Streit mit diversen Verfechtern der 50:50-Theorie geführt. Nachzulesen hier!

Alles in allem geht es um ein Problem mit bedingter Wahrscheinlichkeit. Die Auswahl in der ersten Runde bedingt das Verhalten des Moderators und damit die zweite Auswahlrunde. In einem Drittel der Fälle (dann, wenn man das Auto ausgewählt hat), ist hinter dem verbleibenden nichtgewählten Tor eine Ziege. In zwei Dritteln der Fälle ist hinter dem verbleibenden nichtgewählten Tor ein Auto. Also rentiert sich der Wechsel in 2 von 3 Fällen. Soweit die umgangssprachliche Erklärung.

Die Mathematik kann das auch, und zwar beispielsweise mit dem Theorem von Bayes. Bayes, in der Wirtschaftsinformatik gern zitierter presbyterianischer Pfarrer aus dem England des 18. Jahrhunderts, hat sein Theorem über bedingte Wahrscheinlichkeiten veröffentlicht, der mathematisch korrekte Beweis von Wikipedia übernommen. Gegeben sei der Fall, dass der Moderator Tor B geöffnet und man selbst das Tor A gewählt habe. Dann ist P(Gewinn in C | Moderator hat B geöffnet):

Noch deutlicher wird die Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichkeit übrigens in der Medizin. Folgende Ausgangssituation (ausführlich beschrieben samt der psychologischen Folgen bei Gerd Gigerenzer im Buch “Das Einmaleins der Skepsis”): Eine Krankheit tritt bei etwa 2 von 10.000 Menschen auf. Nun hat gibt es einen Test zur Diagnose eben jener Krankheit, der die Krankheit in 99% der Fällen findet, in 1% der Fälle bei einem Gesunden fälschlicherweise aber auch anschlägt.

In Bayes-Notation:

  • Krankheit tritt bei einem bestimmten Menschen aus der Grundgesamtheit aller Menschen auf: P(A) = 0,002%
  • Test fällt positiv aus: P(B) = 0,0100196 (kann aus den übrigen Angaben errechnet werden)
  • Krankheit wird vom Test bei einem erkrankten Menschen gefunden = P(B|A) = 99%
  • Krankheit wird vom Test nicht bei einem erkrankten Menschen gefunden = P(B|AC) = 1% (AC = Komplement von A)

Setzt man dies nun in das Bayestheorem ein, erhält man als Erkrankungswahrscheinlichkeit bei positivem Test rund 2%! Das bedeutet: Man ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwas weniger als 1 gesund.

Das erscheint unglaublich. Aber da hilft ein bischen “Mengenlehre”. Nachfolgendes Bild zeigt drei Kreise. Der größte Kreis symbolisiere die Grundgesamtheit. Er hat einen Radius von 10 Längeneinheiten, und somit eine Fläche von etwa 314 Flächeneneinheiten. In diesem Kreis befindet sich ein zweiter Kreis. Der Kreis hat einen Radius von etwa 1 und eine Fläche von 3,202 Flächeneinheiten. Er symbolisiert die Menge aller Personen, bei denen der Test positiv anschlägt. Innerhalb dieses Kreises befindet sich ein weiterer kleiner Kreis. Er hat eine Fläche von 0,00628 Flächeneinheiten, also 0,002%*314, und symbolisiert die Menge aller Erkrankten. (Er schaut ein wenig aus dem Kreis heraus. Das sind die wenigen erkrankten Fälle, bei denen der Test nicht anschlägt).

Bei diesen Zahlenspielen ist aber eines noch zu beachten: Hier wurde als Grundgesamtheit eine repräsentative Stichprobe aller Menschen gewählt. Sollte man einen Test nicht auf eine solche Grundgesamtheit anwenden, sondern auf eine Menge, in der die Erkranktenquote sehr viel höher ist (beispielsweise Leute, die erste Symptome einer Krankheit aufweisen) steigt P(B|A) sofort merklich an.

Als Beispiel: Das Resultat des ersten Tests liege vor, und man kann nun einen zweiten Test verwenden, dessen Ergebnis von dem des ersten unabhängig sei. Statt 0,002% Erkrankungsquote ist die Quote jetzt bei 2% , sofort steigt die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Ergebnis erkrankt zu sein, auf etwas über 66%. Ein dritter, unabhängiger Test erhöht sorgt bei positivem Ergebnis dann für annähernde Gewissheit: Also immer mehrere, unabhängige Tests verwenden, dann steigt die Chance einer korrekten Antwort.


Mathematik für Fortgeschrittene: 2

Ein weiterer Beitrag für das Jahr der Mathematik: Die Zahl 2 übt einen besonderen Reiz auf alle Mathematiker aus: Sie ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen (was so ziemlich genau jede zweite Zahl ist) sind vielfache von ihr – und daher keine Primzahlen.

Doch ist die Zahl 2 somit auch die weiteste Masche im Sieb des Eratosthenes? Die Animation von Wikipedia.de erweckt ja diesen Eindruck: von 120 Zahlen “wirft” 2 gleich 59 raus, wohingegen die 3 gerade mal 40 Zahlen eliminiert.

Dennoch mal weiter gedacht: Es gibt unendlich viele Zahlen, die man untersuchen kann, ob sie Primzahlen sind oder nicht. Davon ist eine Teilmenge durch zwei teilbar. Das sind immer noch sehr viele, man könnte sie zwar abzählen doch bräuchte man unendlich lange. Vereinfacht gesagt: Es sind unendlich viele durch zwei teilbare Zahlen dabei.

Mist. Von allen Zahlen die geraden Zahlen entfernen ist schon ein harter Brocken. Bleiben wohl immer noch verdammt viele Zahlen übrig. Sind das unendlich viele? Wird wohl so sein. Das gibt Kopfschmerzen: Man entnimmt einer unendlichen Menge unendlich viele Elemente, und es bleiben immer noch unendlich viele übrig? Sowas bekommen nur die Mathematiker hin. Ein Haufen konstanter Größe, egal wie viel man davon wegnimmt.

So sieht es natürlich auch mit der Zahl 3 aus – diese siebt auch unendlich viele Zahlen heraus. Letztlich macht das jede Primzahl, auch die 47 oder die 2001. Also gibt es aus der Sicht der Mathematik keine unterschiedlichen Maschenweiten im Sieb des Eratosthenes.

Trotzdem kann man den “normal denkenden Menschen” aber beruhigen. Im Sieb des Eratosthenes gibt es zumindest bei dessen praktischer Anwendung unterschiedliche Maschenweiten. Die 2 ist bei endlichen Zahlenmengen – und nur die können wir enumerativ mal eben durchgehen – die effektivste Methode, schnell große Mengen Zahlen “rauszuwerfen”. Das Bild auf Wikipedia lügt also nicht. Nur die Mathematik sieht das anders. Die hat nämlich unendlich große Sandhaufen, und die ergeben beim Sieben zwangsläufig unendlich große Sandhaufen unter den Sieben, wenn man fertig ist.

Das wird bei endlicher Siebgeschwindigkeit übrigens nie fertig.


Die Goldbach-Vermutung

In den letzten Wochen ist dem ein oder anderen vielleicht mein Interesse für mathematische Fragestellungen aufgefallen, das durch das Jahr der Mathematik geweckt wurde. In den letzten Tagen habe ich mich nun mit einem interessanten Phänomen beschäftigt, welches die Mathematiker anscheinend zum Verzweifeln bringt.

Ausgangspunkt ist die schönste aller Primzahlen, die 2 (denn nur sie ist gerade). Alle anderen geraden Zahlen sind keine Primzahlen, sie sind Vielfache der 2.

Primzahlen haben was mit Multiplizieren zu tun. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie nicht durch Multiplikation “erreichbar” sind. Es gibt keine Möglichkeit, sie als Produkt vieler anderer ganzzahliger Zahlen darzustellen.

Doch wie sieht das mit dem Addieren aus? Wenn man zwei Primzahlen >2 addiert, kommt eine gerade Zahl heraus. 7+3=10; 23+7=30 und so weiter… (Auf eine vollständige Aufzählung sei hier verzichtet: Primzahlen >2 sind immer ungerade, und die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade).

Und nun kommt Herr Goldbach ins Spiel. Er sprach die Vermutung aus, das jede gerade Zahl >3 auf mindestens eine Art als Summe zweier Primzahlen darzustellen ist. Für einen Ingenieur ist das Nachvollziehbar: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3 oder 10=5+5; 12=7+5… Das kann man natürlich ins Extrem treiben: Folgende Grafik (geklaut bei Wikipedia) zeigt auf der X-Achse die geraden Zahlen von 2 bis 9000 und auf der y-Achse die Anzahl der möglichen Schreibweisen als Summe zweier Primzahlen.

Goldbach selbst hat die Vermutung noch nicht so scharf formuliert, er wollte die Summe von 3 Primzahlen auch als gültig zählen lassen. Doch stürzt sich die Mathematiker nach wie vor auf die scharfe Formulierung. Goldbachs Vermutung zu widerlegen oder zu bestätigen, würde einen Platz in der Ahnensammlung der großen Köpfe der Mathematik einbringen.

Auffällig sind in der Grafik (wenn man das Streuen als Rauschen betrachtet), dass die Anzahl der möglichen Summen einen ansteigende Tendenz hat. Ein schließender Statistiker würde also messerscharf schließen, dass in der vorliegenden Sichprobe ein Trend zu entdecken sei. Manche Statistiker finden sogar zwei Trends.

Doch reicht so ein einfacher statistisch belegbarer Trend nun beim besten Willen nicht aus, um zu begründen, dass nicht doch mal eine gerade Zahl nicht als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann.


PI-zza

Momentan haben wir das Jahr der Mathematik. Also aufgemerkt und was gelernt. Heute: wie leite ich mir PI beim Italiener um die Ecke her. Die Idee für dieses Post habe ich übrigens bei einem Freund und Kollegen “geklaut”, doch ich zitiere ihn hiermit ganz korrekt: Ferber 2008, S. 20. Thomas hat dafür gesorgt, dass sich Sun am Jahr der Mathematik aktiv beteiligt. Weitere Info zu ihm und der Aktion gibt es hier: http://de.sun.com/servicessolutions/industries/edu/mathematik/

Jetzt aber zur Pizza! Man steht vor dem (absolut realistischen) Problem, dass man beim Italiener um die Ecke spontan PI berechnen möchte. Leider hat man gerade nur eine Pizza zur Hand. Also wird es Zeit, sie zur PI-zza umzufunktionieren. Das ganze geht so: Zunächst mißt man mit Hilfe von Salamischeiben den Umfang und den Durchmesser der Pizza. Im vorliegenden Beispiel seien dies 22 Scheiben Umfang und 7 Scheiben Durchmesser.

Da PI nunmal Umfang durch Durchmesser ist, erhält man für PI den Wert 22/7 = 3,14…, was zumindest nah dran ist und für die meisten technischen Anwendungen auf jeden Fall reicht.

Thomas Ferber: Das Jahr der Mathematik – Eine mathematische Sammlung – kinderleicht. Präsentation für das Jahr der Mathematik. Sun Microsystems, München et al. 2008