Ein weiterer Beitrag für das Jahr der Mathematik: Die Zahl 2 übt einen besonderen Reiz auf alle Mathematiker aus: Sie ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen (was so ziemlich genau jede zweite Zahl ist) sind vielfache von ihr – und daher keine Primzahlen.
Doch ist die Zahl 2 somit auch die weiteste Masche im Sieb des Eratosthenes? Die Animation von Wikipedia.de erweckt ja diesen Eindruck: von 120 Zahlen „wirft“ 2 gleich 59 raus, wohingegen die 3 gerade mal 40 Zahlen eliminiert.
Dennoch mal weiter gedacht: Es gibt unendlich viele Zahlen, die man untersuchen kann, ob sie Primzahlen sind oder nicht. Davon ist eine Teilmenge durch zwei teilbar. Das sind immer noch sehr viele, man könnte sie zwar abzählen doch bräuchte man unendlich lange. Vereinfacht gesagt: Es sind unendlich viele durch zwei teilbare Zahlen dabei.
Mist. Von allen Zahlen die geraden Zahlen entfernen ist schon ein harter Brocken. Bleiben wohl immer noch verdammt viele Zahlen übrig. Sind das unendlich viele? Wird wohl so sein. Das gibt Kopfschmerzen: Man entnimmt einer unendlichen Menge unendlich viele Elemente, und es bleiben immer noch unendlich viele übrig? Sowas bekommen nur die Mathematiker hin. Ein Haufen konstanter Größe, egal wie viel man davon wegnimmt.
So sieht es natürlich auch mit der Zahl 3 aus – diese siebt auch unendlich viele Zahlen heraus. Letztlich macht das jede Primzahl, auch die 47 oder die 2001. Also gibt es aus der Sicht der Mathematik keine unterschiedlichen Maschenweiten im Sieb des Eratosthenes.
Trotzdem kann man den „normal denkenden Menschen“ aber beruhigen. Im Sieb des Eratosthenes gibt es zumindest bei dessen praktischer Anwendung unterschiedliche Maschenweiten. Die 2 ist bei endlichen Zahlenmengen – und nur die können wir enumerativ mal eben durchgehen – die effektivste Methode, schnell große Mengen Zahlen „rauszuwerfen“. Das Bild auf Wikipedia lügt also nicht. Nur die Mathematik sieht das anders. Die hat nämlich unendlich große Sandhaufen, und die ergeben beim Sieben zwangsläufig unendlich große Sandhaufen unter den Sieben, wenn man fertig ist.
Das wird bei endlicher Siebgeschwindigkeit übrigens nie fertig.
Du schreibst immer die Primzahlen wären nicht abzählbar viele …
Theoretisch sind sie aber genau abzählbar unendlich und nicht überabzählbar, da man sie ja einzeln zählen kann.
mfg David
Wo Du recht hast, hast Du wohl recht.
Liegt wahrscheinlich an meiner eher eingeschränkten mathematischen Ausbildung. Mir hatte man „abzählbar viele“ als „Du kannst Sie alle zählen“ erklärt. Wichtig war dem Dozenten die Unterscheidung zwischen „abzählbar“ und „abzählbar viele“. Er meinte mit ersterem nur, man kann sie zählen (keine Ahnung, ob man sie jeweils alle auch zählen kann), mit dem zweiten man kann sie alle zählen (und wird irgendwann fertig). Ich habe nur so langsam den Eindruck, dass mein Dozent der einzige war, der dies unterschieden hat.
So oder so: Ich werde den Fehler aus dem Text entfernen.